22.11.06

1214.- Pitagoras y Pell

Ya nos convecimos -creo- que no hay solución con números x e y enteros de la ecuación x2 - 2y2=0.

¿Y de x2 - 2y2=1? ¿o igualando a -1?

Resulta que esta fue más fácil de resolver. Por ejemplo, con x=1, y=1 se tiene una solución igualando a -1. Con x=3, y=2 hay una igualando a 1. Ahora x=7, y=5 cumplen 49-2.25=-1

Así, la recursión

xn+1=xn+2yn
yn+1=xn+yn

nos da soluciones para esta ecuación que es un caso particular de la ecuación de Pell (la general es x2 - Dy2=+-1). Matías redescubrió la recursión en este post, pensándolas como aproximaciones de raíz de 2.

Efectivamente, los pitagóricos llamaron a estos números xn, yn
números diagonal y lado [mi traducción es mala: así como llamaban números triangulares y no triángulos, pentagonales y no pentágonos, etc., deberían ser 'diagonaleales' y 'ladeales', ...verdat? {pronúnciase el '...verdat' como Marianitus Grondoneáea}]

Ahora, como xn, yn crecen 'sin cota' (eufesmismo por 'se van al carajo', el tema es que a los griegos no les gustaba mucho el infinito), si uno divide toda la ecuación de Pell por yn2, el +-1 de la derecha se convierte en una cagadésima despreciable, y se obtiene

xn2 / yn2 -2 = cagadésima despreciable

Es decir, los cocientes de xn, yn aproximan raíz de dos.

(Para interesados, este artículo, Pythagorean side and diagonal numbers de László Filep en el Acta Math. Acad. Paed. Nyíregyháziensis 15 (1999) da una versión más seria y detallada del tema, hay versión pedeéfica)

2 comentarios:

Anónimo dijo...

"Ya nos convecimos -creo- que no hay solución con números x e y enteros de la ecuación x^2 - 2y^2=0."

Yo no estoy convencido, ¿qué pasa con x=0, y=0? :)

JuanPablo dijo...

cierto, (0,0) es una solución! El tema es que no sirve para despejar raíz de dos