8.11.06

1207.- Ahora de numeros otra vez

Si, ya nos convencimos de que raíz de dos es irracional, pero ahí va otra: si es a/b,

a2=2b2

y del lado izquierdo hay un número par de divisores, mientras que en el derecho son impares.

Upgrade 1207.1: me señala Hernán -con mucha razón- que en vez de divisores debería decir factores primos.

7 comentarios:

hernan dijo...

divisores o factores primos?

JuanPablo dijo...

primos!

ya corrijo

hernan dijo...

ah, ahora sí.
la verdad es que no lo había pensado así, y me resulta mucho más evidente que la demostración estandard.
además, no hace falta esa imposición (levemente incómoda) de que a/b sea irreducible.
muy bueno.

Martín dijo...

Sí, Hernán, pero el precio a pagar es que tener que usar la unicidad de la descomposición en primos.

La demostración "clásica" no usa a los primos para nada, simplemente el hecho de que un entero es par si y sólo si su cuadrado lo es.

Obviamente, para demostrarlo para la raiz de cualquier primo y no solamente la de dos, hay que usar a los primos.

Anónimo dijo...

No es necesario usar los primos para la raiz de otro primo (por ejemplo 3). Solo observar que n es multiplo de 3 si y solo si n^2 tambien lo es y sale mirando los posibles restos de dividir n^2 por 3.

JuanPablo dijo...

efectivamente, anónimo: ese fue el post 1199

Martín dijo...

Bien, más a mi favor :)

En cualquier caso - tengan en cuenta que estoy sin dormir, y sin lapiz y papel - no me es del todo obvio cómo probarlo. Si n=13q+r, con r no negativo y r<13, n^2 es múltiplo de 13 si y sólo si r^2 es múltiplo de 13. O sea que así solamente logro reducirlo a probar la afirmación para n<13. Pero no me sale seguir sin usar la descomposición en primos.