1116.- Hoax o que

Supongamos que el abstract de un artículo dice:

En este paper analizamos la consistencia de la técnia de "cambio de variables", ampliamente usada en las Matemáticas Modernas. Se encuentra que el método contiene contradicciones.

(el cambio de persona no es un error de mi traducción, realmente pasa del "we analyze" al "it is found".)

Ahora, si en la introducción, a mitad de la tercera línea encontramos la frase:

Es una creencia común entre los matemáticos que uno puede encontrar contradicciones en "herramientas" auxiliares de la matemática como la teoría de conjuntos, sistemas lógico formales, fudamentos filosóficos, pero no en aritmética, geometría o álgebra.

... qué quieren que les diga, esto me recuerda el hoax de Sokal.

El paper sigue con tres secciones que no tienen desperdicio. Nos encontraremos al leerlo con:

-Inconsistencia de la técnica de cambio de variables (lineal!) en la sección 2 y 3, entre la invertibilidad de la transformación y el concepto de derivada parcial.

[en la fórmula 3.3, X = (a/c)Y + (b -(d/c))y, al derivar dX/dY dice que es a/c, se 'olvida' que tiene que derivar y respecto de Y, porque Y = cx+dy]

-Las rotaciones son inconsistentes con la aritmética, según la sección 4, a menos que el ángulo sea múltiplo de pi/2. Corolario: los números complejos son inconsistentes.

-Otras inconsistencias, en la sección 5, tales como: reflexiones respecto a una recta ax+by =0 (si ab(a²-b² no es cero), la transformada de Lorentz, y -cómo no!- la teoría de la Relatividad...

Por último, llegamos a la bibliografía. Sería muy recomendable si no fuera porque -como no podía ser de otra manera-, contiene dos citas propias. En las otras seis -sí, apenas 8 en total- aparecen nombres tales como: D.A. Aleksandrov, A.N. Kolmogorof, M.A. Lavrentiev, A. Einstein, H. Lorentz, H. Weyl, H. Minkowski, K. Gödel, y M. Kline.

* * *

¿Qué cuernos pasó? Nonlinear Analysis publicó ésto el año pasado, con el título "On some contradictory computations in multi-dimensional mathematics". La olla la destapó el preprint del arXiv A Comment on "On Some Contradictory Computations in Multi-dimensional Mathematics" del 27/03/06 [de paso, otros papers de esta gente destroza varios artículos más], y en estos días ya aparece en dos blogs (Philosophy of Real Mathematics y Mathephysique), y hasta llegó a la wikipedia al artículo sobre los Bogdanoff.

No me parece que la comparación con los hermanos B sea correcta, porque esto es algo que ya en Análisis 2 se entiende que está mal (Análisis 1 en mi facultad, porque ahí ya se ven derivadas parciales), no es algo esotérico juzgado por pares que no conocen mucho del tema, sino algo básico del primer año de cualquier carrera ingenieril de cualquier parte del mundo. Sospecho que está más cerca de un affaire tipo Sokal, y que en cualquier momento aparecerá el autor burlándose de cómo logró publicarlo.

Como sea, llegó la hora -me parece- de replantearse el verdadero valor del affaire Sokal. ¿Qué demostró, exactamente? ¿Y a qué se supone que son inmunes las matemáticas o la física?

1115.- De teoremas, papers y errores

Un teorema -publicado, que superó el peer review y todo- bien puede tener errores en la demostración. Puede ser que esté mal demostrado, y que los errores caigan dentro de tres clases bien diferentes:

i.- Alguna cuenta, afirmación, deducción está mal escrita -tal vez errores de tipeo, o de cuentas- pero no afecta el resultado. Donde dice '1' debería decir '2', pero como sólo se necesita que el resultado sea positivo, no hace diferencia. O se cuela un 'no' y se afirma que cierto conjunto no tiene cierta propiedad, mientras en el resto de la demostración se utiliza que la tiene. Y muchos ejemplos similares más. (Estos errores no son muy peligrosos. Sería deseable que no los hubiera, pero una ojeada a las erratas de cualquier libro muestra qué frecuentes son.)

ii.- Alguna cuenta, afirmación, deducción es incorrecta: una desigualdad invertida, un signo menos que aparece o desaparace de la nada, una implicación que requiere una hipótesis que nunca se pidió -y que no la tiene el teorema en cuestión-, etc. Los mismos errores que vemos cometer a nuestros alumnos y que cometemos nosotros, los mismos errores de i.-, pero con la diferencia de que ahora no hay arreglo: si uno escribe la desigualdad bien, o corrige los signos, no se demuestra el resultado. Pero en esta categoría el teorema puede ser demostrado, cambiando -tal vez por completo- los argumentos, yendo por otro camino. (Estos errores son peores que los anteriores, ya que si se utilizan los argumentos fuera de contexto, para otro resultado, ahora pueden llevar a conclusiones falsas.)

iii.- Igual que antes, pero ahora el resultado que se demuestra gracias al error, es falso. No hay forma de arreglar el error, porque más que en la demostración, el problema está en el enunciado. (Estos son los peores de todos, ya que si cree en la validez del teorema y se lo utiliza, todo lo que uno demuestre a partir de él carece de validez)

Los tres tipos de errores se filtran en los papers, quiero creer que hay más del tipo (i) que del (ii), y del (ii) que del (iii), pero todo journal tiene un par de esqueletos escondidos en el armario de cada clase.

A veces, un error sale a la luz y entonces aparecen los 'Errata', 'Addenda', o 'Corregidenda'. (En el último tiempo, para casos excepcionales, se empezaron a ver los 'Withdraw' y 'Retired'. El concepto no tenía sentido antes, ya que una vez impresa la revista no había forma de volver atrás la publicación, pero ahora puede aplicarse a las bases electrónicas y el artículo se borra de las mismas.)

Pero con Sokal apareció una nueva clase de paper erróneo: el paper absurdo escrito para burlarse de los controles de una conferencia, una revista, los referatos y demás. Y de esos hablaescribiremos en los próximos días.

1114.-Busquedas

28 Mar, Tue, 16:02:09 Google: aplicaciones del teorema de tales
Pensalo así: ¿qué sería de la matemática del primario / secundario sin tales? ¿qué otro teorema se podría demostrar? ¿como justificarían su sueldo muchos docentes? También sirvió para que Les Luthiers escribieran una canción

28 Mar, Tue, 16:06:59 MSN Search: educasion publica
Eso, así anda, lamentablemente

28 Mar, Tue, 16:11:25 Google: sistemas de redes sociales
Esto, los blogs, son redes sociales. ¿Ves? no me conocés, pero venís, veo tu pregunta, te contesto, se crea un lazo, un link para ser más precisos. Que sirvan para algo está a la vista... sacá tus propias conclusiones, o consultá a tus amigos

28 Mar, Tue, 16:34:29 Google: aplicaciones teorema de tales
¿Media hora buscando y volvés?! ¿No encontraste nada en todo ese tiempo?

28 Mar, Tue, 16:47:37 Google: reduccionismo
Es como creer que su significado se reduce a conocer las letras r - e - d - u - c - c - i - o - n - i - s - m - o. Funciona igual en cualquier otro tema.

28 Mar, Tue, 17:02:02 Google: demostraciones por negacion
Te doy un ejemplo. Teorema: me niego a explicarlo. Dem. No te lo explico y listo. q.e.d. (mmm... tal vez así te lo expliqué)

28 Mar, Tue, 17:02:59 Google: fotos del apocalipsis
Uuh, te las debo. No pasó todavía (creo), aunque calculo que ese día no voy a estar muy preocupado en sacar fotos.

28 Mar, Tue, 17:10:20 Google: teoria de juegos/ ejercicio de votantes cuadro de pagos
El votante es el que paga, para el político es un juego, y los pagos son para él.

28 Mar, Tue, 17:33:37 Google: ejemplos de metodos cientificos
No, no hay muchos ejemplos. Tampoco hay muchos 'métodos científicos', como mucho uno. Y casos donde realmente se aplicó, menos...

28 Mar, Tue, 17:50:50 Google: probabilidades y estadisticas
Un ejemplito: esta es la décima búsqueda y contesté hasta ahora 9. Estadísticamente, todo indica que también voy a responder a esta. Pero la probabilidad de que la respuesta te sirva es muy baja, si miramos las respuestas anteriores.

28 Mar, Tue, 17:55:51 Google: utilidad de los ornitorrincos
¿y qué estarías haciendo ahora si no existieran los ornitorrincos? Fijate que con la excusa de ver de qué se trata, googleaste hasta acá mientras en otras páginas mirabas fotos de la Salazar y de Pampita.

28 Mar, Tue, 18:03:16 Google: la creacion del mundo
depende... ¿qué versión estás buscando? ¿Y para qué 'mundo'?

28 Mar, Tue, 18:08:07 Altavista: matematico famoso en brasil
varios! a veces de vacaciones, otras trabajando, igual hay muchos. Uno decía en la contratapa de uno de sus libros que llegó a Río "siguiendo el gradiente de temperatura".

28 Mar, Tue, 18:09:28 Google: Paul Erdos
Que en paz descanse, mucho trabajó en vida.

28 Mar, Tue, 18:27:06 Google: "Paul Erdös"
¿Vos no sos el mismo de antes que buscaba Tales? ¿no te parece que si modificás levemente la búsqueda, los resultados no cambian? Un consejo: conseguite un navegador que te subraye los links ya visitados.

1113.- Me olvidaba...

...y el nonlinearanalysisgate, eso sí que se va a poner divertido... ¿cuánto le queda de vida al journal?

1112.- Lecturas

Estoy leyendo mucho y escribiendo poco (en todo sentido, si no cuento las teóricas que son como 15 páginas por semana). Tendría que empezar a postear las cosas con las cuales me crucé, más de una muy sorprendente. Por ejemplo:

-la primera obra de Galileo, rara vez mencionada -especialmente por sus admiradores-, doblemente problemática.

-Una vuelta de tuerca para la vieja 1+2+4+8+16+32+64+...=-1

-una tesis sobre los Principia de Newton, la parte 'diferencial'. Y la polémica sobre sus escritos no traducidos aún del latín por 'religiosos' y 'alquímicos' (?!).

-blogs, para citar, linkear y seguir leyendo.

-teoría de juegos.

-etcéteras.

1111.- Oh oh

Es normal burlarse de Kepler por tratar de explicar las relaciones entre los cinco planetas y los cinco sólidos regulares.

Es instructivo comparar esto con los intentos actuales de explicar el zoológico de partículas elementales en términos de representaciones irreducibles de grupos de Lie.

(S. Sternberg)

[Para más sobre grupos de Lie en este blog, siga las historias previas a partir de este link]

1110.- El teorema del cafe de los lunes a la maniana

Así dicen que lo bautizó Nash a su famoso teorema sobre los equilibrios. Tiene dos ventajas, con semejante nombre todos pasaron a llamarlos 'equilibrios de Nash'.

La idea -cuentan- se le ocurrió escuchándolos a sus compañeros hablando de los partidos de béisbol y fútbol americano del fin de semana. Que tal cambio estaba mal hecho, que aquel jugador no tenía que haber entrado, que si ese otro no hubiera soltado la pelota, que no tenía que batear fulano sino mengano, que convenía intentar primero un touch down, que el tiro de campo fue en un mal momento...

O en nuestro lenguaje: que nos mataron cuando le cortaron las piernas al Diego, que no lo llamó a Redondo, que el cabezazo de Ortega, que el equipo tenía muchas piernas y velocidad pero faltaba definición... (y me imagino mañana: que se encaprichó en llamarlos a Riquelme y Abbondancieri, que no la llevó a la Brujita, que Saviola... o como dijo el Diego hace poco: Z tiene que estar; Y tiene que estar; X tiene que estar; W me encanta, tiene que estar! V no puede faltar; U tiene que estar; ... así hasta que llegó a A tiene que estar, con lo cual la culpa será de Joao por no permitir más de 22/23 jugadores).

Hay gente que cree que Nash contradice a Adan Smith, y otras estupideces semejantes, como que fomenta el cooperativismo a costa del individualismo (gracias, Hollywood!). Lo que Nash realmente hace es analizar el juego con el resultado ya puesto, y juzgar si las estrategias de los jugadores fueron las correctas dado el resultado.

Bue, otro día la sigo. Ahora en vez del café me espera el almuerzo.

1109.- Spam

Hoy, justo a la mitad de la clase y cuando estoy por empezar una demostración en el pizarrón, suena el aviso en el celular de que entró un mensaje.

Spam, de un sitio porno.

(Aclaro que el número lo tienen apenas un par de personas, y que si me necesitan, me van a llamar porque realmente es una emergencia, no me van a mandar un mensaje, así que ni me molesté en mirar porque ellos no podían ser.)

1108.- Cuatro billones y medio

(en realidad, unos 30 mil millones más) de símbolos hacen falta para definir el número 1 en la terminología de Bourbaki.

Y no deben confundirse el término matemático designado (chap. I, sec. 1, nro. 1) por el símbolo 1 y la palabra "uno" del lenguaje ordinario.

Pero eso no es todo. Solovay (quien tiene un axioma propio, si mal no recuerdo, un axioma de elección numerable) calculó que si el par ordenado (x, y) fuera introducido por definición en vez de tomárselo como una noción primitiva, para definir el 1 se necesitarían
2409875496393137472149767527877436912979508338752092897 símbolos. Sí, como 2x10⁵⁴ (si conté bien^(*)) simbolitos.

Mas info, acá.

(El abstract en la página del autor promete: The implications for Bourbaki's philosophical claims and the mental health of their readers are discussed. En el paper no afloja mucho: Some brief comments on the psychological significance of these arithmetical freaks will be found in the final section.)

(*) si conté bien las cifras del número en negritas, no los caracteres de la posible definición!

Upgrade 1108.1: Y los físicos se preocupan por unos 10⁵⁰⁰ vacua... que calculen primero cuántos caracteres harían falta para definir bien la exponenciación!

1107.- Ajedrez y Meteorologia

Un meteorólogo aprendió algunas de las reglas que mueven las piezas 'a lo físico', y trata de predecir 'como un matemático' la próxima movida en un partido frenético que empezó antes de que él llegara.

Así le va.

1106.- Monarquia y Democracia

Me entero de un interesante experimento vía Reality conditions: escribir posts defendiendo ideas difíciles de sostener. El primero defiende el derecho divino de los reyes (a reinar). Hubiese sido más simple defender las ventajas de la monarquía frente a la democracia con argumentos muy firmes.

El tema es que en una democracia los que se postulan son en su mayoría corruptos, que saben que pueden enriquecerse de la función pública, y poco tienen de servidores públicos. Peor aún, en el caso en que un honesto (h) se postule, un corrupto (c) dispone de más herramientas para competir, lo cual aumenta sus chances de ganar (va a emplear tácticas sucias, difamar a su rival, o ilegales como comprar votos, etc.). Pero difícil que un honesto se postule, ya que antes de llegar a la elección debe pelear en el frente interno de su partido y ya ahí se va a producir la carnicería. Una mirada rápida a la historia nos muestra que por algo se ha acuñado la frase 'votar el menos malo' o 'elegir el mal menor'.

Un poco de teoría de juegos nos convence de que la estrategia para encarar una elección es portarse como un c: en una elección h-h, si uno emplea armas sucias mejora sus chances, con lo cual h-h no es un equilibrio de Nash. La competencia h-c favorece a c, y el único equilibrio termina siendo c-c.

El argumento de que una población honesta va a votar al h depende de una hipótesis muy fuerte: que la mayoría de la sociedad sea honesta (y encima, capaz de elegir entre h y c racionalmente). Sin embargo, como en los análisis de halcones vs. palomas, el equilibrio se obtiene cuando están repartidos, de lo contrario hay incentivos por actuar al revés que la mayoría.

En cambio, en una dinastía, por más terrible que sea el monarca de turno, la genética puede jugar a favor, y siempre hay chances de que una mutación genere un buen gobernante.

(La idea no es mía, salvo los análisis vía teoría de juegos; lo que no recuerdo es si no lo posteé antes)

1105.- Argentina Potencia

Conocía los casos de California, España, el resto de Europa.

Recién ahora me entero del caso de compatriotas exitosos en Australia, aunque la noticia era vieja.

1104.- Ajedrez y computacion

Si un computador es fanático del ajedrez, lo más probable es que intente escribir un programa que juegue. Es más, hasta lo puede transformar en su línea de investigación, y le van a pagar por hacerlo en su universidad o instituto. De vez en cuando dará clases en alguna materia aburrida, pero intentará periódicamente (con éxito) dar como optativa una introducción a este tema.

Me parece que es el que más clara la tiene a la hora de hacer analogías...

1103.- Educasion

Leo en Universia que Los estudiantes ignoran su desconocimiento.

Y en La Nación. Insólito caso en el fuero federal. El juez que se sacó un 1 en un examen. Concursaba para ser magistrado titular.

Ahora... leyendo la nota, dice que de 33 jueces, sólo 2 sacaron 7 o más, y más de la mitad no llegó ni siquiera al cuatro. Agregando que entre los aplazados había otros jueces y demás... ¿por qué hablan en el título de Insólito caso?

Y leyendo lo que sigue sobre las impugnaciones, que creían que aprobaban, que el examen fue mal tomado, etc., me parece que hay un link con la nota de Universia, un problema común...

1102.- Fisica y Ajedrez

Mientras -por ahora- dos campeones mundiales de ajedrez fueron matemáticos serios, no conozco casos de físicos que jugasen a gran nivel. La explicación, tal vez, sea la que da nada menos que Feynman cuando compara física y ajedrez, en su gran curso de física:

Podemos imaginarnos que ese complicado sistema de cosas moviéndose que constituyen "el universo" es algo como un gran juego de ajedrez jugado por los dioses, y que somos observadores del partido. No conocemos cuáles son las reglas del juego, y sólo se nos permite mirar. Por supuesto, si observamos un tiempo suficientemente largo, eventualmente vamos a descubrir algunas reglas. Las reglas del ajedrez es lo que nosotros entendemos por las leyes físicas fundamentales.

Ese es un approach al ajedrez del que sólo es capaz un físico. Por lo menos, se da cuenta de algo:

Aún si conocemos cada regla, sin embargo, tampoco podemos ser capaces de entender por qué se hace una movida en particular en el partido, porque el juego es muy complicado y nuestras mentes son limitadas. Si juegan al ajedrez sabrán que es fácil aprender todas las reglas, pero todavía es difícil seleccionar la mejor movida o entender por qué un jugador mueve como lo hace.

1101.- Ajedrez y matematicas

Las matemáticas se parecen -como sistema axiomático- al ajedrez. No digo nada nuevo, ni recuerdo quién originó la comparación. Las piezas son los objetos matemáticos, y las reglas son los axiomas. Una movida cualquiera será válida sólo si se la hace de acuerdo a las reglas.

Siempre me quedó una duda sobre el tablero: ¿a quién representa?

1100.- Anacronismos

Hernán le responde en ese post a un lector que se queja del 'virtuosismo inútil' de Euler, saber de memoria las seis primeras potencias de los primeros cien números primos. Si bien su respuesta apunta a otro aspecto del tema, tiene un gérmen de éste. Porque si bien ser matemático no significa saber multiplicar al instante números de 20 cifras, eso es ahora que lo saben hacer por nosotros las máquinas, pero en aquella época era más una herramienta que servía para la labor creativa, como bien intuye. Ampliemos.

Confieso que no sé cuál es el centésimo primo, menos su sexta potencia. Y en pocos minutos podría tener la información programando algo en matlab o buscando en una tabla de primos, o en la web. A ojo, el PNT me dice que debe ser como 100xlog(100), es decir, casi 500. Y 500⁶ es 125 al cuadrado seguido de 12 ceros. Un número de 16, 17 cifras.

¿Será mucho, eso? Pensemos que 16 decimales de pi, 17 cifras contando el 3, sería (según la calculadora que tengo a mano):

3,1415926535897932

La gran diferencia con la época de Euler es que no había ni calculadoras, ni internet, ni siquiera tablas de números primos y sus potencias (algunas tablas había, pero justamente... él hizo una!)

De todas maneras, uno se podría preguntar si estas cosas realmente hacen (hacían) falta. La matemática es mucho más 'teórica' que andar haciendo cuentitas.

Y la respuesta la puede dar el propio Euler, que publicó este paper en 1735, donde se introduce la función zeta de Riemann (si, ya se que Riemann nació en 1826, noventa años después...), y se demuestra que esta función en los números pares es irracional. En realidad, calcula exactamente cuánto vale, y vemos que es una fracción de una potencia de pi (que pi era irracional, lo demostró su alumno Lambert, aunque él ya lo intuía). Una historia de la zeta de Riemann por uno de los capos de teoría de números se puede ver aquí, (sí, del Clay, por ese tema del millón de dólares).

Una curiosidad: el valor de pi que da Euler en su trabajo tiene dos cifras más que el que pusimos arriba:

3,141592653589793238

Nada mal si consideramos que, encima, él viene de calcular su raíz cuadrada...

1099.- De vuelta

Una semana persiguiendo a fibertel para volver a tener conexión a internet... Oficialmente ya me di de baja, así que en estos días voy a ir cambiando las direcciones de mail y demás.

En breve posteo algo más interesante que esto. Bue, más interesante... es un decir.

1098.- Redes sociales

Complementando un post anterior de m., esta página tiene una bocha de referencias en el tema de cascades. Lástima que no hay links en todas las referencias, aunque seguro se consiguen muchas.

La introducción explica cómo unos pocos pueden influir en la toma de ciertas decisiones cayendo en erroneous mass behavior. Los ejemplos van desde estampidas bancarias hasta el raiting de ciertos programas de televisión [por ejemplo, ¿nadie observó que en ciertos ambientes si uno no miraba el Gran Hermano o Tontinelli no tenía tema de conversación? no siempre es posible elegir en qué círculos moverse, que pueden ser familiares, laborales, etc.]. Está también el viejo tema de pararse en una esquina a mirar el cielo, y como de a poquito se suman otros. El viejísimo fenómeno de 'los ciegos guiando a los ciegos', que en el Evangelio no se refiere a ciegos, claro.

Y una reflexión a partir de esto último: ¿San Mateo es el gran inspirador de tantos sociólogos, y físicos metidos a sociólogos, y chantas autoinventados como analistas de redes sociales? Esta página arranca con el versículo 15:14, pero recordemos también el de 'los ricos serán más ricos, y a los pobres les será quitado todo', tan mal entendido y usado pero tan popular en la literatura de power laws.

1097.- El paper Nature de la semana (IV)

El tema es computación cuántica, y la noticia es la siguiente:

Quantum physics aims another blow at common sense: a simple quantum computer gives the right answer, even when it is not run. (check!)

Se podría agregar que no es muy nueva la idea, hace años que se sabe que windows funciona mejor y comete menos errores cuando está apagado, pero esto no es joda. Se puede ver más acá, para los que no tienen acceso al artículo.