1214.- Pitagoras y Pell

Ya nos convecimos -creo- que no hay solución con números x e y enteros de la ecuación x² - 2y²=0.

¿Y de x² - 2y²=1? ¿o igualando a -1?

Resulta que esta fue más fácil de resolver. Por ejemplo, con x=1, y=1 se tiene una solución igualando a -1. Con x=3, y=2 hay una igualando a 1. Ahora x=7, y=5 cumplen 49-2.25=-1

Así, la recursión

x_n+1=x_n+2y_n
y_n+1=x_n+y_n

nos da soluciones para esta ecuación que es un caso particular de la ecuación de Pell (la general es x² - Dy²=+-1). Matías redescubrió la recursión en este post, pensándolas como aproximaciones de raíz de 2.

Efectivamente, los pitagóricos llamaron a estos números x_n, y_n
números diagonal y lado [mi traducción es mala: así como llamaban números triangulares y no triángulos, pentagonales y no pentágonos, etc., deberían ser 'diagonaleales' y 'ladeales', ...verdat? {pronúnciase el '...verdat' como Marianitus Grondoneáea}]

Ahora, como x_n, y_n crecen 'sin cota' (eufesmismo por 'se van al carajo', el tema es que a los griegos no les gustaba mucho el infinito), si uno divide toda la ecuación de Pell por y_n², el +-1 de la derecha se convierte en una cagadésima despreciable, y se obtiene

x_n² / y_n² -2 = cagadésima despreciable

Es decir, los cocientes de x_n, y_n aproximan raíz de dos.

(Para interesados, este artículo, Pythagorean side and diagonal numbers de László Filep en el Acta Math. Acad. Paed. Nyíregyháziensis 15 (1999) da una versión más seria y detallada del tema, hay versión pedeéfica)